Pytagoras

Bakgrunn

I en rett trekant kalles den lengste siden for hypotenus og de to korte sidene for katet. Katetene møtes alltid i den rette vinkelen, mens hypotenusen er siden motsatt av den rette vinkelen.

Rettvinklet trekant med navn på kantene

Rettvinklet trekant med navn på kantene

Dersom vi tegner kvadrater på alle kantene i trekanten finner vi arealet av hver av de tre kvadratene ved å ta

(1)   \begin{align*} Areal_{Hypotenus}=Hypotenus\cdot Hypotenus={Hypotenus}^2 \end{align*}

(2)   \begin{align*} Areal_{Katet_1}=Katet_1\cdot Katet_1={Katet_1}^2 \end{align*}

(3)   \begin{align*} Areal_{Katet_2}=Katet_2\cdot Katet_2={Katet_2}^2 \end{align*}

 

Alle kantene i trekanten har fått et kvadrat. Arealet av et kvadrat er A=s\cdot s=s^2

Pytagoras fant ut og beviste at arealet av kvadretet på hypotenusen er likt arealet til summen av arealene på katetene.

Med andre ord

Arealet av det store kvadratet er likt arealene av de to små kvadratene.

Dersom vi skriver pytagoras med matematikk får vi

(4)   \begin{align*} Hypotenus^2=katet^2+katet^2 \end{align*}

Eller vi kan si

(5)   \begin{align*} h^2=k^2+k^2 \end{align*}

Du kan klikke og dra i hjørnene til trekanten.

Eksempler

Eksempel 1 Finne hypotenusen

Gitt en trekant der Katet_1=3 og Katet_2=5

pytagoras3

 

Finn hypotenusen!

Vi bruker pytagoras

(6)   \begin{align*} h^2&=k^2+k^2\\ x^2&=3^2+5^2\\ x^2&=9+25\\ x^2&=34\\ x&=\sqrt{34}\\ x&=5,8 \end{align*}

Hypotenusen er 5,8 lang

Eksempel 2 Finne kateten

Gitt en trekant der hypotenusen er 15 og den ene kateten er 7. Finn den siste kateten!

Vi må først snu på pytagoras setningen slik at vi får en k^2 alene på venstre siden.

(7)   \begin{align*} h^2&=k^2+k^2 \; \mbox{Vi trekker fra } k^2 \mbox{ på begge sider}\\ h^2-k^2&=k^2 \; \mbox{vi bytter side}\\ k^2&=h^2-k^2 \end{align*}

Nå kan vi sette inn verdier

(8)   \begin{align*} k^2&=h^2-k^2\\ x^2&=15^2-7^2\\ x^2&=225-49\\ x^2&=176\\ x&=\sqrt{176}\\ x&=13,3 \end{align*}

 Eksempel 3 Sjekke om trekanten er vinkelrett

Gitt en trekant

pytagoras8

Er \angle A=90^o?

Her må vi benytte oss av at pytagoras setningen stemmer dersom h^2 har samme verdi som k^2+k^2. Vi finner derfor først h^

(9)   \begin{align*} h^2=6,11^2=37,33 \end{align*}

deretter k^2+k^2

(10)   \begin{align*} k^2+k^2=4,97^2+3,16^2=24,40+9,99=34,49 \end{align*}

Vi ser at de to svarene er ulike.

Pytagoras setningen stemmer ikke for trekanten, og den er ikke rettvinklet

Pytagoras

Bruk teksten over og svar på quizen

Del