Andregradslikninger

En andregradslikning er en likning hvor en x er opphøyd i 2. Tre eksempler på andregradslikning kan derfor se slik ut

(1)   \begin{align*} 2x^2-4x+2&=0\\ 5x^2&=2x\\ 4x^2-4&=0 \end{align*}

Andregradslikninger kan opptre på tre ulike måter.

(2)   \begin{align*} &(I)&ax^2+bx+c&=0\\ &(II)& ax^2+c&=0\\ &(III)&ac^2+bx&=0 \end{align*}

Vi skiller altså mellom andregradslikninger med tre ledd og to ledd.
For de med to ledd, skiller vi mellom de som har a og b leddene, og de som har a og c leddene.

Andregradslikninger med tre ledd

Vi starter med den hvor alle tre leddene er til stede.

Generellt kan vi skrive et slikt utrykk som

(3)   \begin{align*} ax^2+bx+c=0 \end{align*}

Da løser vi likningen med formelen

(4)   \begin{align*} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

De x verdiene vi får (x_1,x_2)til svar er løsningene til likningen. De kan også brukes til å faktorisere andregradsutrykket

(5)   \begin{align*} a(x-x_1)(x-x_2) \end{align*}

Eksempel

Finn løsningene og faktoriser utrykket

(6)   \begin{align*} 2x^2-8x-10&=0\\ a&=2\\ b&=-8\\ c&=-10\\ x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ &=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 2\cdot (-10)}}{2\cdot 2}\\ &=\frac{8\pm \sqrt{64+80}}{4}\\ &=\frac{8\pm12}{4}\\ x_1&=\frac{8+12}{4}=\frac{20}{4}=5\\ x_2&=\frac{8-12}{4}=\frac{-4}{4}=-1 \end{align*}

Vi har nå de to løsningene. Vi kan faktorisere utrykket

(7)   \begin{align*} 2x^2-8x-10&=2(x-5)(x-(-1))=2(x-5)(x+1)\\ \end{align*}

Andregrads likninger med to x-ledd

Vi kan bruke andregradsformelen, men det sparer oss for mye arbeid å faktorisere utrykkene istedenfor.

Generell kan vi si at

(8)   \begin{align*} ax^2+bx=x(ax+b) \end{align*}

Siden x\cdot (ax+b) vil dette utrykket være lik null når en av faktorene er lik null
Altså at

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
x(ax+b)&=0

*** Error message:
Misplaced alignment tab character &.
leading text: $x(ax+b)&

når enten x=0 eller (ax+b)=0. Da blir en løsning x_1=0 og den andre løsningen av likningen (ax+b)=0

Eksempel

Løs likingen

(9)   \begin{align*} 4x^2+2x&=0\\ x(4x+2)&=0\\ x_1&=0\\ 4x+2&=0\\ 4x&=-2\\ x_2&=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} \end{align*}

Dersom andregradsformelen har en verdi som løsning er x_1=x_2, og vi faktoriserer som vanlig.
Dersom andregradsformelen har en negativ verdi i rottegnet har vi ingen løsning da vi ikke kan finne løsningen av \sqrt{-1}.

Andregradslikninger med ett x ledd

Andregradslikninger med ett x ledd ser slik ut

(10)   \begin{align*} ax^2+c=0 \end{align*}

Disse løser vi som vanlig likning og tar kvadratroten nå vi har fått x alene

eksempel

(11)   \begin{align*} 2x^2-18&=0\\ 2x^2&=18\\ x^2&=\frac{18}{2}\\ x^2&=9\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{9}\\ x&=\pm3\\ x_1&=-3\\ x_2&=3 \end{align*}

Faktorisering

Skal vi faktorisere slike utrykk kan vi skrive de opp som a(x-x_1)(x-x_2)

(12)   \begin{align*} 2x^2-18=2(x-3)(x+3) \end{align*}

Andre bruksområder

Andregradsfunksjoner er symmetriske funksjoner. En loddrett linje gjennom ekstremalpunktet er en symmetrilinje. Denne x-verdien kan lett finnes ved hjelp av andgradsfunksjonen. Vi bruker første del av ABC likningen

(13)   \begin{align*} x=\frac{-b}{2a} \end{align*}

fordi leddet \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} gir nullpunktene, og ekstremalpunktets x-verdi skal havne midt mellom disse.

andregrad2

Grafisk løsning av andregradslikninger

Vi kan løse andregradslikninger grafisk. Vi tegner da andregradslikingen og finner skjæringspunktene med x-aksen. x-verdiene er da løsningen.
andregrad1

Andregradslikninger

Sjekk dine kunnskaper om andregradslikinger

Del