Andregradsulikheter

Når vi skal løse andregradsulikheter må vi kjenne til egenskapene til en andregradsfunksjon.

Vi vet at

  • Tallet foran x^2 forteller oss om grafen har topp eller bunnpunkt
  • Før og etter nullpunktene vil funksjonsverdien være den samme
  • Mellom nullpunktene vil funksjonsverdien være motsatt av utenfor

Nullpunktene er derfor viktig ved løsning av andregradsulikheter. Når vi har funnet nullpunktene må vi finne om funksjonsverdien er positiv eller negativ, før mellom og etter nullpunktene.

For å gjøre dette må vi altså få null på ene siden av ulikhetstegnet og andregradsutrykket på andre siden.

Fremgangsmåten blir

  1. Null på ene siden, andregradsuttrykket på andre siden
  2. Løs andregradsfunksjonen
  3. Her har du to valg
    1. Lag et fortegnsskjema for å finne når funksjonen er positiv
    2. Bruk det du kan om andregradsfunksjoner og verdien før, mellom og etter nullpunktene.

Vi prøver

Gitt ulikheten

(1)   \begin{align*} -2x^2+8x+6>6x-6\end{align*}

Vi flytter over høyresiden til venstre og får

(2)   \begin{align*} -2x^2+2x+12>0 \end{align*}

Så løser vi andregradslikningen

(3)   \begin{align*} x&=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot (-2)\cdot 12}}{2\cdot (-2)}\\ &=\frac{-2\pm \sqrt{4+96}}{-4}\\ &=\frac{-2\pm 10}{-4}\\ x_1&=3\\ x_2&=-2 \end{align*}

Fortegnslinje

Nå har vi løst andregradslikningen og kan faktorisere andregradsuttrykket

(4)   \begin{align*} -2x^2+2x+12=-2(x-3)(x+2) \end{align*}

Når vi har faktorisert har vi fått et multiplikasjonsuttrykk. Vi kan sette opp et skjema som viser når faktorene er negative, null eller positive. Dette kan vi bruke for å se når hele uttrykket er negativt, positivt eller null.

Deretter ser vi tilbake på ulikheten og finner områdene vi leter etter.

Når vi tegner fortegnsskjma tar vi faktor for faktor

  • -2 alltid negativ
  • x-3 Negativ for x<3 og positiv for x>3
  • x+2 Negativ for x<-2 og positiv for x>-2

Vi setter opp fortegnsksjema

Rendered by QuickLaTeX.com

Vi ser av fotegnslinjen at andregradsfunksjonen er først negativ, så positiv også negativ igjen.

Siden vi er ute etter når andregradsfunksjonen er større enn 0 er det altså det positive området vi er ute etter.

Løsninger er -2<x<3

Bruk av funksjonsuttrykket

Når vi ser på andregradsfunksjonen vet vi nå at den har nullpunkt for x=-2 og x=3. Koeffisienten foran x^2 forteller oss hvilken vei funksjonen beveger seg.

Siden a<0 vil den begynne på negative verdier, være positiv mellom nullpunktene og negativ etter siste nullpunkt. Vi er ute etter det positive området og sier derfor at løsningen ligger mellom nullpunktene.

Løsning -2<x<3.

Vi kan tegne en skisse av grafe og sjekke

Rendered by QuickLaTeX.com

Del