Derivert

Når vi deriverer finner vi vekstfarten til en funksjon i et punkt. Altså kan vi si at

f'(x)=a

Vi kan altså si hvor mye grafen eller funksjonen stiger i verdi akkurat i et punkt.

For å gjøre dette velger vi oss to verdier på x-aksen med avstand h
derivert-h
Vi finner funksjonsverdiene for disse to verdiene slik at vi får to punkt

\left(x,f(x) \right)

og

\left((x+h,f(x+h)\right)
derivert-fx
Gjennom punktene kan vi trekke en linje som kalles sekant.

Når vi nå lar avstanden mellom de to x verdiene krympe og gå mot null vil de to punktene nærme seg hverandre. Så lenge avstanden, h, mellom x verdiene aldri blir null, men så nærmt som mulig vil vi kunne trekke en linje gjennom de to punktene. Når de to punktene er så nærmt som mulig vil stigningen til sekanten være lik stigningen til tangenten i punktet.

Dette stigningstallet beskriver stigningen til funksjonen akkurat i punktet \left(x,f(x)\right).

Dette kan vi beskrive matematisk ved at avstanden mellom x verdiene går mot null \lim_{h \to 0}

Stigningstall er definert som endring i y delt på endring i x, \frac{\Delta y}{\Delta x} som er det samme som \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Vi får derfor at stigningen i et punkt er gitt ved

(1)   \begin{align*} a=f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align*}


Geogebra fil

Geogebra fil

Del