Logaritmelikninger

Vi skal her se på en variant av logaritmelikningene hvor vi må bruke andregradslikning for å løse.

Vanlige logaritmelikninger kan du lese mer om på denne siden.

Vi ser på likningen

(1)   \begin{align*} -(\lg x)^2+\lg x+2=0 \end{align*}

Legg merke til at potensen gjelder for hele \lg x. Det er stor forskjell på lg x^2 og (\lg x)^2.

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{align*}
\lg x^2&=\lg (x\cdot x)=\lg x + \lg x=2\lg x\\
(\lg x)^2&=\lg x \cdot \lg x
\end{alig}
I det første tilfellet er det x inni logaritmen som opphøyes, mens i det andre tilfellet er det hele logaritmen som opphøyes.
Vi kan derfor ikke bruke reglene
\begin{align*}
 \lg a^x&=x\cdot \lg a\\
10^{lg a}&=a\\
\lg(a\cdot b)&=\lg a + \lg b\\
\lg(\frac{a}{b})&=\lg a-\lg b
\end{align*}

*** Error message:
\begin{align*} on input line 12 ended by \end{alig}.
leading text: \end{alig}

Vi ser på likningen på nytt, og prøver oss med å bytte ut \lg x med u, altså u=\lg x

(3)   \begin{align*} -u^2+u+2=0 \end{align*}

Dette kjenner vi igjen som en andregradslikning, og vi løser den deretter

(4)   \begin{align*} u&=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot (-1)\cdot 2)}}{2\cdot 1}\\ u&=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}\\ u&=\frac{-1\pm 3}{2}\\ &u_1=1 \; u_2=-2 \end{align*}

Vi har funnet verdien av u, men vi er ute etter verdien av x. Vi må derfor løse likningen

(5)   \begin{align*} \lg x&=u_1 & \lg x&=u_2\\ \lg x&=1 & \lg x&=-2\\ 10^{\lg x}&=10^1 & 10^{\lg  x}&=10^{-2}\\ x_1&=10 & x_2&=10^{-2}=\frac{1}{100} \end{align*}

Del