Rasjonale funksjoner

En rasjonal fuksjon er en funksjon med x i teller og nevner

(1)   \begin{align*} f(x)=\frac{2x+4}{x-2} \end{align*}

Når vi har rasjonale funksjoner liker vi å vite mest mulig om

  • Nullpunkt
  • Bruddpunkt
  • Asymptoter
  • Hvilken verdi funksjonen går mot når x blir svært stor

Gitt funksjonen

(2)   \begin{align*} f(x)=\frac{3-5x}{1+x} \end{align*}

Nullpunkt

Nullpukt finner vi når teller er null, og setter derfor opp likningen for teller lik null

(3)   \begin{align*} f(x)=\frac{\color{red}3-5x}{1+x} \end{align*}

Teller er 3-5x vi løser derfor

(4)   \begin{align*} 3-5x&=0\\ -5x&=-3\\ x&=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5} \end{align*}

Bruddpunkt

Bruddpunkt finner vi når nevner er null, og setter derfor opp likningen for nevner lik null

(5)   \begin{align*} f(x)=\frac{3-5x}{\color{red}1+x} \end{align*}

Nevner er 1-x vi løser derfor

(6)   \begin{align*} 1-x&=0\\ -x&=-1\\ x&=1 \end{align*}

Asymptoter

Asymptoter er verdier funksjonen aldri tar. Den kan enten ha et brudd eller gå mot denne verdien.

Vertikale asymptoter(loddrette) finner vi i bruddpunktet

Horisontale asymptoter finner vi for veldig store x-verdier

Når x blir veldig stor får tallene lite å si. La oss si at vi ser på hva som skjer med teller når x blir veldig stor. x kan for eksempel gå mot uendelig \infty.

Teller

(7)   \begin{align*} 3-5\cdot \infty &\approx 3-5\cdot \text{uendelig stort}\\ &\approx-5\cdot \text{uendelig stort}\ \end{align*}

Nevner

(8)   \begin{align*} 1+\infty&\approx 1+\text{uendelig stort}\\ &\approx \text{uendelig stort} \end{align*}

Da kan vi sette opp utrykket som

For store x

(9)   \begin{align*} f(x)&=\frac{-5\cdot \text{uendelig stort}}{\text{uendelig stort}}\\ &=\frac{-5\cdot \infty}{\infty}\\ &=\frac{-5}{1}\\ &=-5 \end{align*}

Horistontal asymptote y=-5

rasjonal

Rasjonale

Test deg selv i rasjonale uttrykk

Del