Arealsetningen

Til nå har vi sett på rettvinklede trekanter. Nå skal vi lære oss å regne areal av trekanter som ikke har en rett vinkel.

Vi ser på trekanten der det ikke er rette vinkler. La oss anta at vi kjenner lengden av AB, AC og vinkelen A. Legg merke til at vinkel A er vinkelen mellom AB og AC.

Rendered by QuickLaTeX.com

Da kan vi finne høyden i trekanten ved å bruke sinus. Vi vet at sinus er definert som

(1)   \begin{align*} \sin(v)=\frac{mot}{hyp} \end{align*}

Om vi tegner en linje fra B som er vinkelrett på AC får i en rettvinklet trekant. Den motstående kateten til vinkel A vil også være høyden i den oprinnelige tretkanten

Rendered by QuickLaTeX.com

Vi kan nå finne et utrykk for høyden BD.

(2)   \begin{align*} \sin(v)&=\frac{mot}{hyp}\\ \sin(A)&=\frac{BD}{AB}\\ BD&=AB\cdot \sin(A) \end{align*}

Fra før vet vi at areal av den trekanten vi nå har kan vi skrive som

(3)   \begin{align*} A&=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD \end{align*}

Nå har vi et utrykk for lengden av BD og setter det inn

(4)   \begin{align*} A=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AB\cdot sin(A) \end{align*}

Vi har kommet fram til et utrykk vi kan bruke for å beregne areal av trekanter der vi kjenner en vinkel og lengden av vinkelbeina.

Generellt kan vi si at

(5)   \begin{align*} A&=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin(\angle (a,b)) \end{align*}

Vi kan bruke denne regelen også for trekanter der vinekelen er over 90^o. For å forstå dette ser vi tilbake på enhetssirkelen.

Sinus til en vinkel er lik forholholde mellom motstående katet og hypotenus. Dersom vi bruker radius i en sirkel til hypotenus kan vi bruke lengden av den motstående katet som verdi på sinus, fordi

(6)   \begin{align*} \sin(v)=\frac{mot}{hyp}=\frac{mot}{1}=mot \end{align*}

Vi ser på tegningen under at to vinkler, en mindre enn 90^o og en mellom 90^o og 180^o, har samme verdi. Vi kan lese av sinus til vinkelen ved å lese av hvor den stiplede linjen krysser y aksen.

Rendered by QuickLaTeX.com

For vinkler mellom 90^o og 180^o definerer vi

(7)   \begin{align*} \sin(v)&=\sin(180^o-v)\\ \cos(v)&=-\cos(180^o-v) \end{align*}

Dette gjør altså at vinklene 30^o og 180^o-30^o=150^o har samme sinus verdi.

(8)   \begin{align*} \sin(30^o)&=\frac{1}{2}\\ \sin(150^o)&=\frac{1}{2} \end{align*}

På samme måte kan vi si at et forhold mellom sidene i en trekant kan gi to ulike vinkler.

Dersom

(9)   \begin{align*} sin(v)=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}

er det altså to vinkler som kan gi dette forholdet.

(10)   \begin{align*} v&=\sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})=60^o\\ \end{align*}

Siden \sin(v)=\sin(180^o-v) så må også vinkelen 180^o-60^o=120^o gi samme veri. Derfor er

(11)   \begin{align*} \sin(v)&=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ v_1&=60^o\\ v_2&=180^o-60^o=120^o \end{align*}

Del