Sinus til en vinkel

Sinus er definert til å være forholdet mellom motståede katet og hypotenusen. Det betyr at når du har en rettvinklet trekant, og velger deg en av vinklene som ikke er 90^0 så vil den kateten som ikke møter vinkelen være motstående. Hypotenusen er alltid den lengste vinkelen, og er motstående til den rette vinkelen.

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{tikzpicture}

\coordinate (O) at (5,3);
\coordinate (A) at (8,6);
\coordinate (B) at (4.4,3.6);
\draw (O)--(A)--(B)--cycle;

\tkzLabelSegment[below=2pt](O,A){\textit{Katet 1}}
\tkzLabelSegment[left=2pt](O,B){\textit{Katet 2}}
\tkzLabelSegment[above right=2pt](A,B){\textit{Hypotenus}}


\tkzLabelAngle[pos = 0.35](A,O,B){$C=90^0$}

\tkzMarkRightAngle(A,O,B)

\tkzMarkAngle[fill= orange,size=0.6cm,%
opacity=.4](B,A,O)
\tkzLabelAngle[pos = 0.5](B,A,O){$A$}

\tkzMarkAngle[fill= orange,size=0.7cm,%
opacity=.4](O,B,A)
\tkzLabelAngle[pos = 0.5](O,B,A){$B$}
\end{tikzpicture}

*** Error message:
Dimension too large.
leading text: opacity=.4](B,A,O)

Vi kan si at sinus er definert som

(1)   \begin{align*} sin(v)&=\frac{mot}{hos} \end{align*}

Vi kan se på \sin(v) som en funksjon som tar vinkelen som argument, og funksjonsverdien er forholdet mellom motstående katet og hypotenus. Forholdstallet mellom de to sidene skal altså alltid være det samme så lenge vi har en rettvinklet trekant og samme vinkel.

På figuren under ordner vi det slik at hypotenusen alltid er 1
Siden hypotenusen alltid har lengden 1 på figuren kan vi her skrive den som

(2)   \begin{align*} sin(v)&=\frac{mot}{1}\\ sin(v)&=mot \end{align*}

Se først på vinkelen og lengen av den motstående siden i første kvadrant. Se etter på på hele sirekelen og se om du kan forstå hvorfor verdien blir som den blir, husk på definisjonen.

Eksempel

sinusoppgave

Finn lengden av BC.

Vi ser at siden BC er motstående katet til vinkel A. Vi må derfor finne vinkel C før vi kan bruke sinus og sier \angle B =180-90-26.57=63.43

(3)   \begin{align*} \sin(v)&=\frac{mot}{hos}\\ \sin(63.43)&=\frac{4.25}{x}\\ x\cdot \sin(63.43)&=4.25\\ x&=\frac{4.25}{\sin(63.43)}\\ x&=4.75 \end{align*}

Eksempel 2

sinusvinkeloppgave

Finn de ukjente vinklene.

Vi kjenner hypotenusen, og en katet. Vi starter med å finne vinkel B siden kateten da blir motsatt av den kjente kateten.

(4)   \begin{align*} \sin(v)&=\frac{mot}{hyp}\\ \sin(v)&=\frac{2.29}{6}\\ v&=sin^{-1}\left( \frac{2.29}{6} \right)\\ v&=22.44 \end{align*}

Den ukjente vinkelen blir 180-90-22.44=67.56

Del