Sinussetningen

Vi har sett på hvordan vi kan finne arealet av trekanter som ikke har rette vinkler. Da fant vi fram til arealsetningen som sier

(1)   \begin{align*} A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin(\angle (a,b)) \end{align*}

Denne kan vi bruke til å utlede sinussetningen. Sinussetningen er nyttig for å finne ukjente sider og vinkler i trekanter.

Arealsetningen gjelder for alle hjørnene i en trekant, så lenge vi vet to sider og vinkelen mellom dem. Gitt trekanten

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{tikzpicture}

\coordinate (A) at (4,0);
\coordinate (B) at (8,0);
\coordinate (C) at (0,3);
\draw (A)--(B)--(C)--cycle;

\tkzLabelSegment[below right=2pt](A,B){\textit{$c$}}
\tkzLabelSegment[abow right=2pt](B,C){\textit{$a$}}
\tkzLabelSegment[below right=2pt](A,C){\textit{$b$}}
%\tkzMarkAngle[fill= orange,size=0.8cm,%
%opacity=.4](A,C,B)
\tkzLabelAngle[pos = 0.6](A,C,B){$C$}

%\tkzMarkAngle[fill= orange,size=0.8cm,%
%opacity=.4](B,A,O)
\tkzLabelAngle[pos = -0.2](B,A,O){$A$}

%\tkzMarkAngle[fill= orange,size=0.7cm,%
%opacity=.4](O,B,A)
\tkzLabelAngle[pos = 0.5](O,B,A){$B$}
\end{tikzpicture}

*** Error message:
Package pgfkeys Error: I do not know the key '/tikz/abow right', to which you passed '2pt', and I am going to ignore it. Perhaps you misspelled it.
leading text: ...Segment[abow right=2pt](B,C){\textit{$a$}}

Vi kan derfor skrive

(2)   \begin{align*} \frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin(A)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin(B)&=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\sin(C)\\ b\cdot c\cdot \sin(A)=a\cdot c\cdot \sin(B)&=a\cdot b\sin(C)\\ \frac{\sin(A)}{a}=\frac{\sin(B)}{b}&=\frac{\sin(C)}{c} \end{align*}

Sinussetningen sier altså at forholdet mellom en vinkel og den motsatte siden er den samme for alle vinkler i en trekant.

Del