Tangens til en vinkel

Nå vet vi at

(1)   \begin{align*} cos(v)&=\frac{hos}{hyp}\\ sin(v)&=\frac{mot}{hyp} \end{align*}

Disse to likhetene kan vi se på som at cos og sin er funksjoner som tar vinkelen som argument
Vi kan dermed tegne funksjonene i et koordinatsystem og lese av hvilke verdier forholdene har for gitte vinkler.

Rendered by QuickLaTeX.com

Tangens er også en slik funksjon. Funksjonsverdien er bestem at forholdet mellom motstående katet til vinkelen og hosliggende. Vi kan derfor skrive

(2)   \begin{align*} \tan(v)&=\frac{mot}{hos}\\ \tan(v)&=\frac{\sin(v)}{\cos(v)}=\frac{\frac{mot}{hyp}}{\frac{hos}{hyp}}=\frac{mot}{hyp}\cdot \frac{hyp}{hos}=\frac{mot}{hos} \end{align*}

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{tikzpicture}

 \\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (A) at (4,0);
\coordinate (B) at (0,3);
\draw (O)--(A)--(B)--cycle;

\tkzLabelSegment[below=2pt](O,A){\textit{Katet 1}}
\tkzLabelSegment[left=2pt](O,B){\textit{Katet 2}}
\tkzLabelSegment[above right=2pt](A,B){\textit{Hypotenus}}


\tkzLabelAngle[pos = 0.35](A,O,B){$C$}
\tkzRightAngle(A/O/B)
\draw (0,0) rectangle (0.4,0.4);

\tkzMarkAngle[fill= orange,size=0.8cm,%
opacity=.4](B,A,O)
\tkzLabelAngle[pos = 0.6](B,A,O){$A$}

\tkzMarkAngle[fill= orange,size=0.7cm,%
opacity=.4](O,B,A)
\tkzLabelAngle[pos = 0.5](O,B,A){$B$}
\end{tikzpicture}

*** Error message:
Package pgf Error: No shape named O is known.
leading text: \draw (O)

Vi ser at verdien av forholdet mellom katetene vil kunne bli veldig stort når \cos(v) går mot null.

Rendered by QuickLaTeX.com

Den grønne linjen viser verdien til tangens. Vi observerer at for hver gang sinus har verdien null har tangens den samme verdien. Hver gang cos går mot null går tangens mot uendelig. Dette skyldes forholdet \tan(v)=\frac{\sin(v)}{\cos(v)}. Samtidig må \tan(v)=1 når sin og cos er like. Dette skjer første gang ved 45^o

Vi kan nå bruke sin, cos og tan for å finne ukjente sider og vinkler i en rettvinklet.

Eksempler

Gitt trekanten \triangle ABC

Der vinkelen i A=30.98 og lengden av AC=5.83

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{tikzpicture}

\coordinate (A) at (5,3);
\coordinate (B) at (10,6);
\coordinate (C) at (11.8,3);
\draw (A)--(B)--(C)--cycle;

\tkzLabelSegment[left=2pt](A,B){\textit{$Kat=5.83$}}
\tkzLabelSegment[left=2pt](B,C){\textit{$x$}}

\tkzLabelAngle[pos = 0.35](A,B,C){$C=90^0$}
\tkzRightAngle(A/B/C)

\tkzMarkAngle[fill= orange,size=0.8cm,%
opacity=.4](C,A,B)
\tkzLabelAngle[pos = 0.6](C,A,B){$A=30.98$}

%\tkzMarkAngle[fill= orange,size=0.7cm,%
%opacity=.4](A,B,C)
%\tkzLabelAngle[pos = 0.5](C,B,A){$B$}
\end{tikzpicture}

*** Error message:
Undefined control sequence \tkzRightAngle.
leading text: \tkzRightAngle

Vi ka bruke cosinus for å finne hypotenusen.

(3)   \begin{align*} \tan(v)&=\frac{mot}{hos}\\ \tan(30.98)&=\frac{x}{5.83}\\ x&=\tan (30.98)\cdot 5.83\\ x&=3.5 \end{align*}

Del