Faktorisering

Å faktorisere vil si å gjøre addisjonstykker om til multiplikasjonsstykker. Dette kan gjøres ved å faktorisere eller benytte sammenhengene i kvadratsetningene.

Først ser vi på faktorisering ved å finne felles faktorer

Dersom alle ledd i et addisjonsstykke inneholder samme faktor kan dette trekkes utenfor.

I uttrykket

(1)   \begin{align*} 9x^2+3x \end{align*}

ser vi at felles for begge leddene er x. Tallene har også noe felles da vi kan skrive 9=3\cdot 3. Vi trekker alt som er felles utenfor en parantes og kan skrive

(2)   \begin{align*} 9x^2+3x=3x(3x-1) \end{align*}

Vi har faktorisert addisjonsuttrykket.

Faktoriser uttrykket

(3)   \begin{align*} 12x^2-6x+36xy \end{align*}

Først må vi faktorisere hvert av leddene

(4)   \begin{align*} 12&|2 & 6&|2 & 36&|2\\ 6&|2 & 3&|3 & 18&|2\\ 3&|3 & 1&| & 9&|3\\ 1&| & & & 3&|3\\ & & & & 1&| \end{align*}

Vi kan altså si at 12=2\cdot 2\cdot 3

Vi gjør dette for alle leddene og finner at

(5)   \begin{align*} 2\cdot 2\cdot 3 \cdot x\cdot x - 2\cdot 3\cdot x+ 2 \cdot 2 \cdot 3\cdot 3 \cdot x \cdot y \end{align*}

Nå kan vi finne felles faktorer

(6)   \begin{align*} {\color{red}2}\cdot 2\cdot {\color{red}3} \cdot {\color{red}x}\cdot x - {\color{red}2}\cdot {\color{red}3}\cdot {\color{red}x}+ {\color{red}2} \cdot 2 \cdot {\color{red}3}\cdot 3 \cdot {\color{red}x}\cdot y \end{align*}

De faktorene som er felles settes utenfor en parantes. Resten beholdes. Dersom alt i ett ledd settes utenfor setter vi inn 1 på den plassen.

(7)   \begin{align*} {\color{red}2\cdot 3\cdot x}\left(2\cdot x-1+2\cdot 3\cdot y\right) \end{align*}

Nå er uttrykket faktorisert og vi kan skrive

(8)   \begin{align*} 12x^2-6x+36xy=6\left(2 x-1+6 y\right) \end{align*}

Ved hjelp av kvadratsetningene kan vi også faktorisere uttrykk

Ett uttrykk som

(9)   \begin{align*} 9x^2+6xy+y^2 \end{align*}

kan faktoriseres ved hjelp av kvadratsteningene. Vi gjenkjenner første kvadratsetning

(10)   \begin{align*} (a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2 \end{align*}

Vi har nemlig at

(11)   \begin{align*} a^2&=9x^2\;&a=3x\\ b^2&=y^2\;&b=y\\ 2ab&=6xy\; &2ab=2\cdot 3x\cdot y \end{align*}

Vi kan derfor si at

(12)   \begin{align*} 9x^2+6xy+y^2=(3x+y)(3x+y) \end{align*}

Vi har altså gått fra å ha et uttrykk med tre ledd (9x^2, 6xy og y^2) til et uttrykk med ett ledd men to faktorer. Vi har gått fra et addisjonsstykke til et multiplikasjonsstykke med faktorene (3x+y) og (3x+y).

Dette er å faktorisere, å gjøre addisjonsstykker om til multiplikasjon.

Vi trenger altså kvadratsetningene, men noen ganger må vi bruke andre teknikker.

Fordeler/Bruk
Det er mange grunner til å faktorisere. Dersom jeg ønsker å se når uttrykket 9x^2+3x=0 er det lettere å se når vi skriver 3x(3x-1) Når en av faktorene er null blir multiplikasjonen null

(13)   \begin{align*} 9x^2+3x&=0\\ 3x(3x+1)&=0\\ 3x&=0 \wedge 3x+1=0\\ x&=0 \wedge x=\frac{1}{3} \end{align*}

Når vi har et rasjonalt uttrykk kan vi «stryke» felles faktorer i teller og nevner. Da trenger vi å faktorisere tellerene og nevneren før vi kan «stryke»

Del