Kan vi faktorisere et uttykk ved hjelp av første eller andre kvadratsetning er det et fullstendig kvadrat. Gjenkjenner vi et fullstendig kvadrat kan det spare oss for mye arbeid med å finne den x som gir uttrykket verdien 0.

Dersom

(1)   \begin{align*} \left( \frac{b}{2}\right)^2=c \end{align*}

er det et fullstendig kvadrat dersom

(2)   \begin{align*} x^2+bx+c \end{align*}

.

Eksempel

Er uttryket et fullstendig kvadrat, i så fall faktoriser

(3)   \begin{align*} x^2-4x+12\Rightarrow \left(- \frac{4}{2} \right)^2=\frac{16}{4}=4\not = 12 \end{align*}

Vi ser at \left(\frac{b}{2}\right)^2\not = c og det er ikke et fullstendig kvadrat

(4)   \begin{align*} x^2+5x+\frac{25}{4} \Rightarrow \left( \frac{5}{2} \right)^2=\frac{25}{4}=\frac{25}{4} \end{align*}

Vi ser at \left(\frac{b}{2}\right)^2 = c og det er et fullstendig kvadrat

Vi kan altså faktorisere og får

(5)   \begin{align*} x^2+5x+\frac{25}{4}=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2 \end{align*}

Dersom uttrykket ikke er et fullstendig kvadrat kan vi likevel lage uttrykket til et fullstendig kvadrat. Vi benytter oss av at (\frac{b}{x})^2-(\frac{b}{x})^2=0 og tillatt å sette inn hvor som helst i uttrykket.

(6)   \begin{align*} x^2-8x+7&=x^2+8x{\color{red}+\left(\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2}+7\\ &={\color{blue}x^2-8x+\left(\frac{8}{2}\right)^2}-\left(\frac{8}{2}\right)^2+7\\ &={\color{blue}x^2-8x+4^2}-16+7\\ \intertext{vi kan bruke 1.kvadratsetning}\\ &={\color{blue} \left( x-\frac{8}{2} \right)^2}-9\\ &={\color{blue} \left( x-4 \right)^2}-{\color{red}3^2} \end{align*}

Den blå delen er nå a i tredje kvadratsetning, mens den røde er b i tredje kvadratsetning

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{align*}
&={\color{blue} \left( x-4\right)^2}-{\color{red}3^2}\\
&=\left( (x-4)+3\right) \left((x-4)-3)\\
&=\left( x-1\right) \left( x+7\right)
\end{align*}

*** Error message:
Error: Cannot create dvi file
Del