Fullstendige kvadrater

Kan vi faktorisere et uttykk ved hjelp av første eller andre kvadratsetning er det et fullstendig kvadrat. Gjenkjenner vi et fullstendig kvadrat kan det spare oss for mye arbeid med å finne den x som gir uttrykket verdien 0.

Dersom

(1)   \begin{align*} \left( \frac{b}{2}\right)^2=c \end{align*}

er det et fullstendig kvadrat dersom

(2)   \begin{align*} x^2+bx+c \end{align*}

.

Eksempel

Er uttryket et fullstendig kvadrat, i så fall faktoriser

(3)   \begin{align*} x^2-4x+12\Rightarrow \left(- \frac{4}{2} \right)^2=\frac{16}{4}=4\not = 12 \end{align*}

Vi ser at \left(\frac{b}{2}\right)^2\not = c og det er ikke et fullstendig kvadrat

(4)   \begin{align*} x^2+5x+\frac{25}{4} \Rightarrow \left( \frac{5}{2} \right)^2=\frac{25}{4}=\frac{25}{4} \end{align*}

Vi ser at \left(\frac{b}{2}\right)^2 = c og det er et fullstendig kvadrat

Vi kan altså faktorisere og får

(5)   \begin{align*} x^2+5x+\frac{25}{4}=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2 \end{align*}

Dersom uttrykket ikke er et fullstendig kvadrat kan vi likevel lage uttrykket til et fullstendig kvadrat. Vi benytter oss av at (\frac{b}{x})^2-(\frac{b}{x})^2=0 og tillatt å sette inn hvor som helst i uttrykket.

(6)   \begin{align*} x^2-8x+7&=x^2+8x{\color{red}+\left(\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2}+7\\ &={\color{blue}x^2-8x+\left(\frac{8}{2}\right)^2}-\left(\frac{8}{2}\right)^2+7\\ &={\color{blue}x^2-8x+4^2}-16+7\\ \intertext{vi kan bruke 1.kvadratsetning}\\ &={\color{blue} \left( x-\frac{8}{2} \right)^2}-9\\ &={\color{blue} \left( x-4 \right)^2}-{\color{red}3^2} \end{align*}

Den blå delen er nå a i tredje kvadratsetning, mens den røde er b i tredje kvadratsetning

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{align*}
&={\color{blue} \left( x-4\right)^2}-{\color{red}3^2}\\
&=\left( (x-4)+3\right) \left((x-4)-3)\\
&=\left( x-1\right) \left( x+7\right)
\end{align*}

*** Error message:
Error: Cannot create dvi file
Del