Ikke lineære likningsett

Når vi skal løse ikke lineære likningssett bruker vi framgangsmåten fra likningssett.

Med ikke lineære likningssett kan vi få to løsninger.

Gitt likningene

(1)   \begin{align*} -x^2-4x-y&=3\\ -2x+1=3 \end{align*}

Grafisk løsning

Tegner vi disse to likningene i samme koordinatsystem kan vi finne løsningene
Vi omformer først utrykkene slik at vi får y alene på en av sidene av likhetstegnet

(2)   \begin{align*} -x^2-4x-y&=3 & \Rightarrow & f(x)=y=-x^2-4x-3\\ -2x+y&=+3 & \Rightarrow & g(x)=y=2x+2 \end{align*}

Løsningen finner vi der kurven og linjen skjærer hverandre

ikkelineaer

Innsettingsmetoden

  1. Vi utrykker den ene ukjente ved hjelp av den andre
  2. Vi setter inn denne ukjente i den andre likningen
  3. Vi løse likningen med en ukjent
  4. Setter inn løsningen i 1.

Her er det lurt å vurdere nøye hvilken likning som omformes og settes inn. Du kan spare mye regning på å få et enkelt andregrads uttrykk fremfor å sette inn for den variabelen som er opphøyd i 2

Vi skal løse

(3)   \begin{align*} -x^2-4x-y&=3\\ -2x+y=+2 \end{align*}

Vi omformer likning nr 2 til

(4)   \begin{align*} y=2x+2 \end{align*}

Denne setter vi inn i den andre likningen

(5)   \begin{align*} -x^2-4x-(2x+2)&=3\\ -x^2-4x-2x-2&=3\\ -x^2-6x-5&=0\;||\cdot (-1)\\ x^2+6x+5&=0 \end{align*}

Nå har vi fått en andregradslikning. Denne løser vi med formelen, først må vi finne konstantene a,b og c

(6)   \begin{align*} a&=1\\ b&=6\\ c&=5 \end{align*}

Vi setter inn i formelen

(7)   \begin{align*} x&=\frac{-b\pm \sqrt{b^-4ac}}{2a}\\ &=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}\\ &=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{2}\\ &=\frac{-6\pm 4}{2} x_1&=\frac{-10}{2}=-5\\ x_2&=\frac{-2}{2}=-1 \end{align*}

Nå setter vi disse løsningene inn i den første likningen

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{align*}
x_1:& y_1=2\cdot (-5)+2=10+2=-8\\
x_2_& y_2=2\cdot (-1)+2=-2+2=0
\end{align*}

*** Error message:
Double subscript.
leading text: \end{align*}

Løsningene henger sammen. Det ser vi av figuren over, at de representerer punktene der funksjonene skjærer hverandre.
Derfor er løsningen

(9)   \begin{align*} x_1&=-5\;\text{ og } y_1=-8\\ x_2&=-1\;\text{ og } y_2=0 \end{align*}

Del