Kvadratsetningene

Når vi skal faktorisere utrykk, noe som er nyttig i mange sammenhenger, må vi kunne kvadratsetningene godt. Å faktorisere brukes når vi skal forkorte rasjonale uttrykk, og når vi skal vurdere egenskapene til et uttrykk blandt annet.

Vi har tre kvadratsetninger. Alle hjelper oss til å skriv om utrykk som inneholder mange ledd til å skrive som faktorer.

Reglene

Første kvadratsetning

(1)   \begin{align*} a^2+2ab+b^2&=(a+b)^2\\ \text{fordi }\\ (a+b)^2&=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2 \end{align*}

Andre kvadratsetning

(2)   \begin{align*} a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\\ \text{fordi}\\ (a-b)^2&=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2 \end{align*}


Tredje kvadratsetning

(3)   \begin{align*} a^2-b^2=(a+b)(a-b)\\ \text{fordi}\\ (a+b)(a-b)&=a^2-ab+ab+b^2=a^2-b^2 \end{align*}

Eksempler

(4)   \begin{align*} 16x^2+24x+9&=(4x+3)^2 \end{align*}

Dette kan vi gjøre fordi vi ser at a=4x og b=3, siden a^2=4^2x^2

(5)   \begin{align*} (\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3)=5-9=-4 \end{align*}

Dette kan vi skrive fordi \sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5

(6)   \begin{align*} 9x^2+6xy+y^2=(3x+y)(3x+y) \end{align*}

Dette kan vi skrive fordi a=3x og b=y

Nytte

Vi ser at kvadratsetningene er veldig nyttige når vi trenger å faktorisere uttrykk. Spesiellt gjelder dette når vi har for eksempel rasjonale uttrykk. Da er det slik at vi kun kan «stryke» felles faktorer. En måte å sikre at vi ikke stryker noe som ikke er lov, er å faktorisere både teller og nevner, og stryke like faktorer mot hverandre.

Vi ser på et eksempel

(7)   \begin{align*} \frac{9x^2+6xy+y^2}{3x+y}=\frac{\cancel{(3x+y)}(3x+y)}{\cancel{3x+y}}=3x+y \end{align*}

Del