n-te rot

Kvadratrøtter

I kurset 1T kan vi bare ta kvadratrøtter av positive tall.

Det er mulig å ta kvadratroten av negative tall, men da beveger vi oss utenfor pensum, og inn i de imaginære eller komplekse tallene.

Vi kan definere kvadratroten som

(1)   \begin{align*}  \sqrt{a\cdot a}&=a  \end{align*}

Ut fra dette kan vi altså si at \sqrt{4}=2; \; \sqrt{9}=3 osv. Siden vi kun kan ta kvadratroten av positive tall, gleder at \sqrt{-4}  = ? fordi vi ikke kan kvadrere et tall og få negativt svar, (-2)^2=4. Vi kan likevel si at  \sqrt{4} = \pm 2

I tillegg til kvadratrot kan vi ta kubikkrot, og fjærderot osv.

Kubikkrot og fjærderot

For kubikkrot gjelder 

(2)   \begin{align*}\sqrt[3]{a\cdot a\cdot a}=a\end{align*}

For fjærderot gjelder

(3)   \begin{align*}\sqrt[4]{a\cdot a\cdot a\cdot a}=a\end{align*}

 

Vi kan også gjøre om potenser til røtter.

For potenser som er brøker gjelder

(4)   \begin{align*} \sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}} \end{align*}

Vi har følgende regneregler

(5)   \begin{align*} \sqrt{a\cdot b}&=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b} &\sqrt{50}&=\sqrt{2\cdot 25}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{25}=\sqrt{2}\cdot 5=5\sqrt{2}\\ \sqrt{\frac{a}{b}}&=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} & \sqrt{\frac{2}{9}}&=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\\ \sqrt[m]{a^n}&=a^{\frac{n}{m}} & \sqrt[4]{a^2}&=a^{\frac{2}{4}}=a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a} \end{align*}

n-te rot

Bruk teksten ovenfor for å svare på spørsmålene!

Del