Likninger med x i eksponent og logaritme

Teori

Likninger med den ukjente i eksponenten kalles eksponentiallikninger.
eksponenVi bruker logaritmer for å «hente ned» den ukjente slik at den ikke er eksponent lenger.

Vi bruker da at

(1)   \begin{align*} \lg a^x=x\cdot \lg a \end{align*}

Vi ser på et eksempel

Eksempel – enkel likning

(2)   \begin{align*} 4^x&=8\\ \lg 4^x &=\lg 8 \text{ vi tar logaritmen av begge sidene}\\ x\cdot \lg 4 &=\lg 8\\ x&=\frac{\lg 8}{\lg 4} \\ x&=1,5 \end{align*}

Nå skal altså 4^{1,5}=8

Når vi regner med eksponential funksjoner er det ofte lån eller kapital som har renter. Dersom vi setter penger i banken, vil gjerne renten være 3%. Det betyr at vi må legge til 3% av pengene for hvert år. Året etter må vi legge ta med at pengene har økt fra rentene året før. Når vi bruker formelen

(3)   \begin{align*} N_x&=N_0\cdot vf^x \end{align*}

der N_x er beløpet etter x år. N_0 er summer som oprinnelig ble satt inn i banken. vf er vekstfaktor som beregnes ved å ta \frac{100+p}{100} Fra over vil en rente på 3% gi vekst faktoren \frac{100+3}{100}=1,03

Eksempel – renters renter

Setter du inn 2000 kroner i banken og lurer på når pengene har blitt til 3000 når renten er 4% har vi utrykket

(4)   \begin{align*} N_x&=2000\cdot 1,04^x \end{align*}

Siden vi lurer på når dette blir 3000 setter vi upp likningen

(5)   \begin{align*} 3000&=2000\cdot 1,04^x\\ \frac{3000}{2000}&=1,04^x\\ 1,5&=1,04^x\\ \lg 1,5&=\lg 1,04^x\\ \lg 1,5&=x\cdot \lg 1,04\\ \frac{\lg 1,5}{\lg 1,04}&=x\\ 10,34&=x\\ x&=10,34 \end{align*}

Det vil ta elleve år før pengene har økt med 1000 kr.

Eksempel – To innskudd

Dersom du vil sammenligne to ulike innskudd, for å se når de er like kan likningen se slik ut

(6)   \begin{align*} 1000\cdot 1,07^x&=2000\cdot 1,04^x\\ \lg (1000\cdot 1,07^x)&=\lg (2000\cdot 1,04^x)\\ \lg 1000+\lg 1,07^x&=\lg 2000 + \lg 1,04^x)\\ \lg 1,07^x-\lg1,04^x&=\lg 2000-\lg 1000\\ x(\lg 1,07-\lg1,04)&=lg\frac{2000}{1000}\\ x&=\frac{lg 2}{\lg 1,07-\lg1,04}\\ x&=24,37 \end{align*}

De to innskuddene vil ha samme verdi etter 25 år.

Pass på! Vi tar logaritmen av hele venstre siden, og hele høyresiden.
 Deretter bruker vi logaritme reglene for å dele opp utrykkene.

Logaritmelikninger

Likninger hvor den ukjente er en del av logaritemene løses ved å bruke at

(7)   \begin{align*} 10^{\lg(x)}=x \end{align*}

Eksempel

(8)   \begin{align*} 2 \lg (x)&=1\\ \lg (x)&=\frac{1}{2}\\ 10^{\lg (x)}&=10^{\frac{1}{2}}\; \text{Hver side blir eksponent i en tierpotens}\\ x&=10^{\frac{1}{2}}\\ x&=\sqrt{10} \end{align*}

Eksempel

(9)   \begin{align*} \lg (x^4)-5\lg (x)&=-6\\ 4\lg (x)-5\lg (x)&=-6\\ -\lg(x)&=-6 \; ||:(-1)\\ \lg(x)&=6\\ 10^{\lg(x)}&=10^{6}\\ x&=10^6 \end{align*}

Del