Likningssett

Med likningssett menes at man er flere ukjente og derfor trenger et sett med likninger slik at vi kan bestemme verdien til de ukjente variablene i likningen

Vi kan for eksempel ha likninger av typen

(1)   \begin{align*} 3x+4y&=12\\ 6x-2y&=2 \end{align*}

Den vanligste måten å løse disse på er å bruke innsetingsmetoden. Likningssettet kan også løses med addisjonsmetoden eller grafisk

Innsettingsmetoden

Vi løser likningssett ved å

  1. utrykke en av variablene med den andre (y=-1+3x).
  2. Erstatte variabelen med dette
  3. Løse likningen for å finne verdien av den ene variabelen.
  4. Sett inn løsningen i utrykket i 1 og finn den siste variablene.

Dette kan brukes på større likningssett også.

Eksempel

(2)   \begin{align*} 3x+4y&=12\\ 6x-2y&=2\\ \end{align*}

Vi finner et utrykk for y fra likning 2. Dette er fritt valg, men man kan forutse hvilken som kan være lur å velge med tanke på brøk og utrykk som skal settes inn i hverandre.

(3)   \begin{align*} -2y&=2-6x\\ y&=-1+3x\\ y&=-1+3x\\ \end{align*}

Nå kan vi sette dette inn i likning 1

(4)   \begin{align*} 3x+4(-1+3x)&=12\\ 3x-4+12x&=12\\ 15x&=16\\ x&=\frac{16}{15} \end{align*}

Vi setter inn verdien for x

(5)   \begin{align*} y&=-1+3\cdot \frac{16}{15}\\ &=-1+\frac{16}{5}\\ &=\frac{11}{5} \end{align*}

Addisjonsmetoden

Gitt likningen

(6)   \begin{align*} 4x+2y&=6\\ 7x-4y&=4 \end{align*}

Vi kan da sette opp en matrise eller tabell med verdiene. Fra likningsettet over kan vi sette opp

(7)   \begin{align*} \begin{array}{ll|l} x & y & \\ 4 & 2 & 6\\ 7 & -4 & 4 \end{array} \end{align*}

Målet er nå å få summen av x eller y verdiene til å bli null.

(8)   \begin{align*} \begin{array}{ll|l} x & y & \\ 4 & 2 & 6 \; ||\cdot 2\\ 7 & -4 & 4\\ \hline 11 & -2 & 10 \end{array}\\ \begin{array}{ll|l} x & y & \\ 8 & 4 & 12 \\ 7 & -4 & 4\\ \hline 15 & 0 & 16 \end{array} \end{align*}

Nå har vi fått at

(9)   \begin{align*} 15x=16 \Rightarrow x=\frac{16}{15} \end{align*}

Så løser vi for y

(10)   \begin{align*} \begin{array}{ll|l} x & y & \\ 4 & 2 & 6 \\ 7 & -4 & 4\; ||\cdot \frac{4}{7} \\ \hline 11 & -2 & 10 \end{array}\\ \begin{array}{ll|l} x & y & \\ 4 & 2 & 6 \\ 4 & -\frac{16}{7} & \frac{16}{7}\; ||\cdot (-1)\\ \hline 11 & -2 & 10 \end{array}\\ \begin{array}{ll|l} x & y & \\ 4 & 2 & 6 \\ -4 & \frac{16}{7} & -\frac{16}{7}\; ||\cdot (-1) \\ \hline 0 & \frac{30}{7} & \frac{26}{7} \end{array} \end{align*}

Vi ser at vi får

(11)   \begin{align*} \frac{30}{7}y&=\frac{26}{7}\\ 30y&=26\\ y&=\frac{26}{30}=\frac{13}{15} \end{align*}

Geogebra

I geogebra kan vi løse likningssett ved å

  1. Åpne cas delen ved å klikke på vis->CAS
  2. Skriv inn likningssetet
    {2x+2y=4,3x-4y=0}
  3. Trykk på X= knappen

likningssettgeo

Del