Potensregning

Potensregning er en forenklet måte å skrive f.eks 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 \cdot 3 eller tall som er veldig store er ofte lettere å skrive på potensform, 100\; 000\; 000.

Et potenstall består av et grunntall og en eksponent.

Tegning

Eksponenten forteller oss hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet.

Fra eksempelet over kan vi si

(1)   \begin{align*} 3^5&=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 \cdot 3\\ 10^8&=100\; 000\; 000 \end{align*}

Det er et sett med regler og forholde oss til. Vi kan vise alle reglene ved å skrive om eksponentene som multiplikasjons stykker og gjøre om på tallene el
ler forkorte brøkene.

For eksempel kan vi vise at alle tall opphøyd i 0 blir 1 altså a^0=1

(2)   \begin{align*} \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0 \end{align*}

Men samtidig er \frac{a^n}{a^n}=1 fordi likt delt på likt blir en, vi har derfor vist at

(3)   \begin{align*} a^0=1 \end{align*}

Dette er regler som vi ikke kan utlede hver gang, men må lære oss og kunne så godt at vi kan hente de fram når vi får bruk for de. Tall med eksponent dukker mye opp når man regner i kjemi og fysikk.

Reglene er

(4)   \begin{align*} a^m\cdot a^n&=a^{m+n} &3^4\cdot 3^2&=3^{4+2}=3^6\\ \frac{a^m}{a^n}&a^{m-n} & \frac{5^3}{5^2}&=5^{3-2}=5^1=5\\ a^0&=1 &5^0&=1\\ a^{-n}&=\frac{1}{a^n} &3^{-2}&=\frac{1}{3^2};\;4^2=\frac{1}{4^{-2}}\\ \left(\frac{a}{b}\right)^n&=\frac{a^n}{b^n}& \left(\frac{2}{3}\right)^3&=\frac{2^3}{3^3}\\ (a\cdot b)^n&=a^n\cdot b^n&(2\cdot 3)^3&=2^3\cdot 3^3\\ (a^m)^n&=a^{m\cdot n}& (3^2)^3&=3^{2\cdot 3}=3^6 \end{align*}

Legg merke til at vi kun kan regne på eksponenten for potenser med samme grunntall.

Eksempler

(5)   \begin{align*} \frac{3\cdot 10^3\cdot 4\cdot 10^{-2}}{9\cdot 10^2}&=\frac{3\cdot 4\cdot 10^{3+(-2)}}{9\cdot 10^2} \text{samler tall og potenser med samme grunntall}\\ &=\frac{\cancelto{4}{12}\cdot 10}{\cancelto{3}{9}\cdot 10^2}\; \text{forkorter heltall, beregner potenser}\\ \\ &=\frac{4\cdot 10^{1-2}}{3} \text{ Husk at } 10=10^1 \text{ og at } 10^{-1}=\frac{1}{10}\\ &=\frac{4}{3\cdot 10}\\ &=\frac{4}{30} \end{align*}

Husk at potenser må ha samme grunntal for at vi kan regne på dem!

(6)   \begin{align*} &3^2\cdot 2^5\cdot 9^3\cdot 4^3& &\text{grunntallene er ulike, men husk } 9=3^2 \text{ og } 4=2^2\\ &3^2\cdot 2^5\cdot (3^2)^3\cdot (2^2)^3& &\text{vi har to ulike grunntall}\\ &3^2\cdot 2^5\cdot 3^6\cdot 2^6 & &\text{Husk,} (a^m)^n=a^{m\cdot n}\\ &3^{2+6}\cdot 2^{5+6} \\ &3^8\cdot 2^{11} \end{align*}

Potensregning

Bruk reglene for potensregning når du svarer

Del