Rasjonale uttrykk

Et rasjonalt uttrykk er en brøk, og kan gjerne inneholde både bokstaver og tall. Vi må kunne regne med rasjonale uttrykk. Dette er nyttig for å forenkle uttrykk, finne eksakte løsninger og løse likninger.

Siden rasjonale uttrykk er brøker er det viktig å være trygg på brøkregning

Når vi regner med rasjonale uttrykk er det derfor viktig om de rasjonale uttrykkene multipliseres med hverandre eller adderes eller subtraheres.

Vi ser først på utrykk som adderes eller subtraheres.

Vi må først finne fellesnevner.

Vi har uttrykket

(1)   \begin{align*} \frac{2}{x}+\frac{3}{2x}-\frac{4}{3x} \end{align*}

Vi ser at vi trenger en fellesnevner. En fremgangsmåte er å faktorisere hver av nevnerene. Da kan vi se hva som må legges til for at alle skal bli lik.

(2)   \begin{align*} N1\;x&\Rightarrow {\color{red}3 \cdot 2 \cdot }x\\ N2\;2x&\Rightarrow {\color{red}3 \cdot }2 \cdot x\\ N3\;3x&\Rightarrow3 \cdot {\color{red}2} \cdot x\\ \end{align*}

Fellesnevneren er 3\cdot 2\cdot x. Vi må sørge for at alle nevnerene inneholder alle faktorene derfor får vi

(3)   \begin{align*} \frac{2}{x}+\frac{3}{2x}-\frac{4}{3x}&=\frac{2\cdot 6}{x\cdot 6}+\frac{3\cdot 3}{2x\cdot 3}-\frac{4\cdot 2}{3x\cdot 2}\\ &=\frac{12}{6x}+\frac{9}{6x}-\frac{8}{6x}\\ &=\frac{12+9-8}{6x}\\ &=\frac{13}{6x} \end{align*}

Når vi har funnet fellesnevner kan vi sette alle brøkene på en brøkstrek, og regne ut telleren ved hjelp av regnereglene.

La oss se på et mer avansert eksempel. Dersom telleren ikke er kun ett ledd, men flere er det viktig å passe på fortegnene. Legg merke til at begge tellerene får paranteser når vi utvider brøken, og når vi setter på samme brøkstrek. Dette er ikke alltid nødvendig, men gjør man det slipper man å tenke på om det skal være eller ikke.

(4)   \begin{align*} \frac{4x+2}{3}-\frac{x+3}{x}&=\frac{{\color{red}(}4x+2{\color{red})}}{3}\frac{\cdot x}{\cdot x}-\frac{{\color{red}(}x+3{\color{red})}}{x}\frac{\cdot 3}{\cdot 3}\\ &=\frac{4x^2+2x}{3x}-\frac{3x+9}{3x}\\ &=\frac{{\color{red}(}4x^2+2x{\color{red})}-{\color{red}(}3x+9{\color{red})}}{3x}\\ &=\frac{4x^2+2x-3x-9}{3x}\\ &=\frac{4x^2-x+9}{3x} \end{align*}

For multiplikasjon av rasjonale uttrykk gjelder også brøkreglene.

(5)   \begin{align*} \frac{2a}{3}\cdot \frac{6}{a}=\frac{2a\cdot 6}{3\cdot a}=\frac{12a}{3a} \end{align*}

Neste skritt er å forkorte. Hva man har lov til å «stryke» må gå igjen i alle ledd over og under brøkstreken. Tall mot tall og bokstaver mot bokstaver.

(6)   \begin{align*} \frac{12a}{3a}=\frac{\not{ 12}^4 \not a}{\not 3 \not a}=4 \end{align*}

Forkorting av rasjonale uttrykk

Vi kan forkorte rasjonale uttrykk ved å finne felles faktorer i teller og nevner. Dette gjør vi enklest ved å faktorisere teller og nevner. Når vi faktoriserer gjør vi om teller og nevner til et multiplikasjons stykke.

Vi kan for eksempel skrive om

(7)   \begin{align*} 3x-6&=3(x-2)\\ x^2-1&=x^2-1^2=(x-1)(x+1)\\ x^2-2x&=x(x-2) \end{align*}

Vi har da gjort om uttrykkene til multiplikasjons utrykk. Når vi har faktorisert teller og nevner vil like faktorer bli 1 og vi stryker de.

Et eksempel

(8)   \begin{align*} \frac{2x}{2}\cdot \frac{x+2}{3x}&=\frac{x\cdot2\cdot(x+2)}{2\cdot3\cdot x}=\frac{\not x\cdot\not 2\cdot(x+2)}{\not 2\cdot3\cdot \not x}=\frac{x+2}{3}\end{align*}

Bruk av kvadratsetninger og fullstendige kvadrat

La oss si at vi har det rasjonale uttryket

(9)   \begin{align*} \frac{9x^2-12x+4}{3x-2} \end{align*}

Da gjenkjenner vi telleren som en av kvadratesetningene 9x^2-12x+4=(3x-2)^2

Da kan vi skrive uttrykket opp på nytt med faktorisert teller

(10)   \begin{align*} \frac{(3x-2)(3x-2)}{3x-2}=\frac{\cancel{(3x-2)}(3x-2)}{\cancel{3x-2}}=3x-2 \end{align*}

Når vi skal forkorte et rasjonalt uttrykk må vi altså se om vi kan faktorisere teller og/eller nevener ved

  • Kvadratsetningene
  • Sette utenfor parantes
  • Fullstendige kvadraters metode

Etter på stryker vi eller forkorte de felles faktorene.

Del