Konjugasjon

Gitt det komplekse tallet

    \begin{align*} z&=a+bi \end{align*}

Den konjugerte er da

    \begin{align*} \bar{z}=a-bi \end{align*}

Grafisk fremstilling av konjugater

1-3konjugat

Nytte av den konjugerte
Vi multipliserer den konjugerte

    \begin{align*} z\cdot \bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2 -(bi)^2=a^2+b^2 \end{align*}

Legg merke til at svaret blir et reelt tall.

Regneregler for konjugasjon

z_1 og z_2 er to komplekse tall

    \begin{align*} \overline{z_1+z_2}&=\bar{z_1}+\bar{z_2}\\ \overline{z_1-z_2}&=\overline{z_1}-\overline{z_2}\\ \overline{z_1z_2}&=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}\\ \overline{\frac{z_1}{z_2}}&=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\; \mbox{ hvis } z_2 \neq 0 \end{align*}

Eksempel
Gitt at z_1=3-5i og z_2=4-2i

    \begin{align*} \overline{z_1+z_2}&=\overline{(3-5i)+(4-2i)}=\overline{3+4-5i-2i}=\overline{7-7i}=7+7i\\ \overline{z_1+z_2}&=\overline{3-5i}+\overline{4-2i}=3+5i+4+2i=3+4+5i+2i=7+7i \end{align*}

Divisjon

Når vi dividrerer komplekse tall, bruker vi brøkfremstillling

  • Vi utvider med den konjugerte av nevneren
  • Regner ut teller og nevner
  • Det kan være lurt å dele utrykket opp i to brøker, en reell og en imaginær
  • Forkorter brøkene

Divisjon eksempel

    \begin{align*}   \frac{21+3i}{3+12i}&=\frac{(21+3i)\cdot (3-12i)}{(3+12i)\cdot (3-12i)}\\   &=\frac{99+243i}{9+144}=\frac{99+243i}{153}\\   &=\frac{99}{153}-\frac{243i}{153}=\frac{11}{17}-\frac{25}{17}i \end{align*}

Tilbakemeldingsskjema