Likninger

Likinger av første grad

(1)   \begin{align*} az+b=0 \end{align*}

Her kan

  • a og b være komplekse tall
  • Løsningen z kan også være kompleks

Samme regneregler som ved reelle tall gjelder når man løser liknigene

Eksempel Alt1

Løs likningen (3+5i)z+2-i=3+7i

(2)   \begin{align*} (3+5i)z+2-i&=3+7i\\ (3+5i)z&=3+7i-(2-i)\\ (3+5i)z&=1+8i\\ z&=\frac{1+8i}{3+5i}\\ z&=\frac{(1+8i)(3-5i)}{(3+5i)(3-5i)}=\frac{3-5i+24i-40i^2}{9-25i^2}\\ z&=\frac{43+19i}{34}=\frac{43}{34}+\frac{19i}{34} \end{align*}

Eksempel Alt2

Løs likningen (3+5i)z+2-i=3+7i

(3)   \begin{align*} (3+5i)z+2-i&=3+7i\\ (3+5i)z&=3+7i-(2-i)\\ (3+5i)z&=1+8i\\ z&=\frac{1+8i}{3+5i} \end{align*}

z=1+8i er r=\sqrt{65} og \theta=\tan^1(\frac{8}{1})=1.45 og z=\sqrt{65}e^{1.45i}

z=3+5i er r=\sqrt{34} og \theta=\tan^1(\frac{5}{2})=1.03 og z=\sqrt{34}e^{1.03i}

(4)   \begin{align*} z=\frac{\sqrt{65}e^{1.45i}}{\sqrt{34}e^{1.03i}}=\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{34}}e^{(1.45-1.03)i}=1.38e^{0.42i} \end{align*}

Likninger av andre grad

abc formelen kan omformes

(5)   \begin{align*} z&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ &=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4az}}{\sqrt{(2a)^2}}=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}=-\frac{b}{2a}\pm \rho \end{align*}

\rho er en av kvadratrøttene av \frac{b^2-4ac}{4a^2}

Eksempel

Løs likningen (2+i)z^2+iz-1-i=0

Vi har at a=(2+i), b=i og c=-1-i

(6)   \begin{align*} z=-\frac{i}{2(2+i)}\pm\rho=-0.1-0.2i\pm \rho \end{align*}

(7)   \begin{align*} \frac{b^2-4ac}{2a}&=0.57+0.24i \end{align*}

Vi må finne kvadratrøttene

Absolutt verdien av 0.57+0.24i er R=\sqrt{0.57^2+0.24^2}=0,62

Argumentet til 0.57+0.24i er \Theta=tan^{-1}\left(\frac{0.24}{0.57}\right)=22.83^o

Vi tar kvadratroten og får derfor \pause

r=\sqrt{0.62}=0.79 og \theta=\frac{1}{2}\Theta=\frac{1}{2}22.83^o=11.42^o \pause

Vi får

\rho=0.79(\cos 11.49^o+i\sin 11.49^o)=0.77+0.16i \pause

(8)   \begin{align*} z&=-0.1-0.2i\pm 0.77+0.16i\\ z&=0.67-0.04i\; \wedge \;z=-0.87-0.36i \end{align*}