Polar form

Introduksjon

    \begin{align*} \cos (\alpha) &=\frac{hos}{hyp}&\sin (\alpha) =\frac{mot}{hyp}\; & \tan (\alpha) =\frac{mot}{hos} \end{align*}

cossin

Polar Form

Gitt et punkt i det komplekse planet z=a+bi

Vi kan velge å angi plasseringen av punktet med

  • r som avstand fra origo til punktet
  • vinkelen \theta mellom den positive førsteaksen og linjestykket mellom origo og P

1-4polar1

    \begin{align*}   \cos \theta &=\frac{a}{r}\\   a&=r\cdot \cos \theta\\ \\   \sin \theta &=\frac{b}{r}\\   b&=r\cdot \sin \theta \end{align*}

Nå kan vi skrive

    \begin{align*} 		z&=a+bi\\ 		z&=r\cdot \cos \theta +ir\cdot \sin \theta\\  		z&=r( \cos \theta +i\cdot \sin \theta)\\ 		\\  		r&=|z|=\sqrt{a^2+b^2} 	\end{align*}

Denne skrivemåten kalles \textit{polar form} eller \textit{trigonometrisk form}

Eksempel

Gitt tallet z=2-5i og skriv det på polar form

Vi finner r

    \begin{align*} r&=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29} \end{align*}

Argumentet \theta er bestemt ved

    \begin{align*} \tan \theta &=\frac{-5}{2}\\ \theta &=\tan^{-1} (\frac{-5}{2})=-68,2^o \end{align*}

Tallet skal ligge i fjerde kvadrant vi tar \theta+360^o=289,8^o

Vi skriver

    \begin{align*} z=\sqrt{29}(\cos (289,8^o )+i\sin (289,8^o) \end{align*}

Eksempel

Skriv utrykket på vanlig form

    \begin{align*} z=6\cdot cos(45^o)+6\cdot i\cdot \sin (45^o)  \end{align*}

Absolutt verdien er r=6

Argumentet er \theta = 45^o

Vi multipliserer ut

    \begin{align*} z&=6\cdot cos(45^o)+6\cdot i\cdot \sin (45^o)\\  &=6\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+6\cdot i\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\  &=\frac{6}{\sqrt{2}}+\frac{6}{\sqrt{2}} \end{align*}

Multiplikasjon og divisjon på polar form

    \begin{align*} z_1&=r_1(\cos \theta_1+i\sin \theta_1)\\ z_2&=r_2(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)\\ \\ z_1\cdot z_2&=r_1\cdot r_2\left(\cos (\theta_1+\theta_2)+i \sin (\theta_1+\theta_2)\right) \end{align*}

Med polarkoordinater

    \begin{align*} (r_1,\theta_1)\cdot (r_2,\theta_2)=(r_1\cdot r_2,\theta_1+\theta_2) \end{align*}

Multiplikasjon og divisjon på polar form

    \begin{align*} z_1&=r_1(\cos \theta_1+i\sin \theta_1)\\ z_2&=r_2(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)\\ \\ \frac{z_1}{ z_2}&=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos (\theta_1-\theta_2)+i \sin (\theta_1-\theta_2)\right) \end{align*}

Med polarkoordinater

    \begin{align*} \frac{(r_1,\theta_1)}{(r_2,\theta_2)}=(\frac{r_1}{ r_2},\theta_1-\theta_2) \end{align*}

De Moivres formel

Et komplekst tall z som har absolutt verdien r=1 og argument \thetak kan skrives

    \begin{align*} z=\cos \theta +i\sin \theta \end{align*}

Ved multiplikasjon av polarkoordinater kan vi vise at

    \begin{align*} z^n&=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta); \;\ \mbox{ der } n=1,2,3,\cdots \end{align*}

Tilbakemeldingsskjema