Delbarhet og faktorisering

Faktorer og delbarhet

I tallteorien studerer vi heltallene, altså \mathbb{Z}

Når et helt tall a kan skrives som et produkt av to tall, sier vi at tallene er faktorer i a.

(1)   \begin{align*} 	a&=bc  	\end{align*}

Vi kan også si det samme ved å skrive

(2)   \begin{align*}  b|a \mbox{ og } c|a 	\end{align*}

som betyr at b og c er faktorer i a.

(3)   \begin{align*} 	b|a  	\end{align*}

har flere betydninger. Følgende utsagn er ekvivalente

  • b deler a
  • b går opp i a
  • a er delelig på b

Dersom b deler a vil brøken \frac{a}{b} være et heltall

Dersom a ikke er delbar med b

(4)   \begin{align*} 	 b\not{|}a 	\end{align*}

Grunnleggende regler for delelighet

For alle heltall a gjelder følgende:

  • 1|a
  • a|a
  • a|0
  • Hvis a|b og b|c så vil a|c
  • a|b og b|a hvis og bare hvis a=±b

Delbarhet i trinn

Dersom a går opp i b og b går opp i c, så vil a gå opp i c

Anta at a|b, da finnes det et heltall r slik at b=ra.

Anta så at b|c. Da finnes et heltall q slik at c=qb.

Da er c=qb=qra

Dette viser at a går opp i c, og beviset er ferdig

Definisjoner

Primtall

Primtall er tall som er større enn 1, og samtidig bare delelig med seg selv eller 1 for å få heltallssvar. Eksempler på primtall er 2,3,5,7,11,13,17,19\cdots

Sammensatte tall

Sammensatte tall er heltall større enn 1, men ikke primtall. Alle sammensatte tall kan faktoriseres til primtallsfaktorer.

Alle sammensatte tall n har minst en primtallsfaktor som er mindre eller lik \sqrt{n}

Faktorisering

Vi kan faktorisere sammensatte tall i primtallsfaktorer

    \begin{align*} 15|&3\\ 5|&5\\ 1|& \end{align*}

Vi har faktorisert 15=3\cdot 5

Andre eksempler:

    \begin{align*} 4=&2 \cdot 2\\ 6=&2\cdot 3\\ 8=&2\cdot 2 \cdot 2 \end{align*}

Vi ser at vi kun bruker primtallene i faktoriseringen.

Tilbakemelingsskjema

Delbarhet

Kort quizz om delbarhet