Euklids bevis

Euklid bevis beviser at det finnes et uendelig antall primtall. Bevismetoden kalles for kontradiksjonsbevis. I kontradiksjonsbevis har vi en påstand, foreksempel at det er et endelig antall primtall. Vi beviser siden at dette ikke kan stemme.

Bevis

VI antar at det finnes et primtall som er det største tallet.Vi kaller tallet for p. Vi antar at det ikke finnes større primtall enn p, og dermed at det er et endelig antall primtall.

Produktet K, av primtall vil da bli

(1)   \begin{align*} K=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot \cdots \cdot p  \end{align*}

Alle primtall er heltall, og dersom vi legger til 1 til K er det også et heltall. K+1 vil da enten bli et sammensatt tall, eller et primtall

(2)   \begin{align*} K+1=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot \cdots \cdot p +1 \end{align*}

Dersom K+1 er et primtall har vi vist at det finnes flere primtall, og primtall som er større enn p

Dersom K+1 er et sammensatt tall, skal dette tallet kunne deles på et primtall som er mindre enn p og vi skal få heltalls svar.

Vi kan prøve å utføre denne divisjonen med hvilket som helst primtall, og se at divisjonen ikke vil gå opp.

(3)   \begin{align*} \frac{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13 \cdot 17\cdot \cdots \cdot p +1}{13}&=\frac{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot \not{13}\cdot 17\cdot \cdots \cdot p}{\not{13}}+\frac{1}{13}\\ &=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 17\cdot \cdots \cdot p+\frac{1}{13} \end{align*}

Siden K+1 er et sammensatt tall og ikke delelig med noen primtall mindre eller lik p, må det være delelig med primtall større enn p eller seg selv. Dermed må det finnes primtall større enn p Dette er en motsigelse av at p var det største primtallet. Vi har vist at det finnes primtall større enn p uansett hvor stor p er. Altså er det et uendelig antall primtall


Tilbakemeldingsskjema