Mersenne-tall

Marin Mersenne (1588-1648) brevvekslet med Pierre de Fermat (1601-1665). Denne brevvekslingen gav bidrag til tallteorien. Mersenne-tall er tall på formen

(1)   \begin{align*} M_n=2^n-1;\;n\in \mathbb{N}_1 \end{align*}

n er altså et naturlig heltall større enn 1.

Mesenne tallen kan listes opp i en tabell

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
M_n 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047

Av disse tallene er det kun 4 primtall. Disse er 3, 7, 31, 127. Det neste primtallet i denne serien er 2^{13}-1. Mersenne tall gir sjeldnere og sjeldnere primtall ettersom p vokser. De neste p verdiene som gir primtall er

(2)   \begin{align*} p=17, 19, 31, 61, 89,107,127 \end{align*}

Mersenne påstod at verdiene n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127,257 gav primtallFotnoter1)https://primes.utm.edu/mersenne/. Noe som viste seg å være feil. Han innrømmet at han ikke hadde testet alle tallene, noe som var en svært krevende oppgave på den tiden. Mersenne tall som gir primtall kalles for mersenne-primtall.

I 1750 viste Euler at n=31 var et primtall. Siden er det vist at også n=127 er et primtall. Etter at datamaskinene kom til ble det funnet flere primtall. Slik at listen over n verdier som gir Mersenne-primtall nå ser slik ut

(3)   \begin{align*} n&=2,3,5,7,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,\\ &2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213 \end{align*}

Referanser   [ + ]

1. https://primes.utm.edu/mersenne/