Største felles faktor

Eksempel 1

(1)   \begin{align*} \frac{28}{70}&=\frac{2\cdot 14}{5\cdot 14}=\frac{2}{5} \end{align*}

Tallet 14 er største felles faktor for tallene 28 og 70. Dette drar vi nytte av når vi forkorter brøker.

Eksempel 2

(2)   \begin{align*} 28a+70b&=2 \cdot 14a+5\cdot 14b=14(2a+5b) \end{align*}

Når vi faktoriserer en sum, bruker vi også ofte \textit{største felles faktor}.

Vi kan skrive

sff(28,70)=14

Ofte skriver vi største felles faktor

SFF(a,b)=d}

eller største felles divisor

SFD(a,b)=d

.

Dersom d=1 er tallene inbyrdisk primiske.

sfd
Finne felles faktor
Vi ønsker å finne sff(12,8)

    \begin{align*} 12&|2&8|2\\ 6&|2&4|2\\ 3&|3&2|2\\ 1&|&1| \end{align*}

Vi finner de felles faktorene i de to tallene og multipliserer 2\cdot 2=4

    \begin{align*} sff(12,8)=4 \end{align*}

Finn sff(25,20)

    \begin{align*} 25&|5&20|2\\ 5&|5&10|2\\ 1&|&5|5\\ &&1|\\ \end{align*}

Vi ser at

    \begin{align*} sff(25,20)=5 \end{align*}

Største felles faktor som lineærkombinasjon

Skriv felles faktor som en lineærkombinasjon 75 og 30

Vi faktoriserer for å finne felles faktorer

    \begin{align*} 75&|5&30|2\\ 15&|5&15|5\\ 3&|3&3|3\\ 1&|&1| \end{align*}

    \begin{align*} sff(75,30)=15 \end{align*}

En lineærkombinasjon er

    \begin{align*} 15=1\cdot 75-2\cdot 30 \end{align*}

Vi kan nå skrive

    \begin{align*} 75s+30t=15(5s+2t) \end{align*}

sff(a,b) er det minste positive tallet som kan skrives på formen sa+tb

    \begin{align*} sff(5,2)=1 \end{align*}

Vi prøver med noen verdier for s og t

    \begin{align*} (s,t)&&5s+2t&\\ (-2,3)& &5\cdot (-2)+3\cdot 3&=-1\\ (2,-3)&&5\cdot 2-3\cdot 3&=1\\ (2,-2)&&5\cdot 2-2\cdot 3&=4\\ (2,-1)&&5\cdot 2-1\cdot 3&=7 \end{align*}

Finn det minste positive tallet som kan skrives som en lineær kombinasjon av 9 og 6

    \begin{align*} sff(9,4)=3 \end{align*}

Vi kan prøve men noen tall

    \begin{align*} (s,t)&&9s+6t&\\ (1,-1)& &9\cdot 1-1\cdot 6&=3\\ (2,-2)&&9\cdot 2-2\cdot 6&=6\\ (2,-3)&&9\cdot 2-2\cdot 6&=0\\ (4,-3)&&9\cdot 4-3\cdot 6&=18 \end{align*}

Fire regler for sff

La a og b være to positive tall, og la d=sff(a,b)

Da gjelder

  1. sff(a,0)=a
  2. sff(ac,bc)=c\cdot sff(a,b) hvis c>0
  3. sff\left( \frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1
  4. sff(a,b)=sff(a-qb,b) for alle heltall q

SFF

Finne største felles faktor, og regne med den.