Bevis for integralregning

Hvorfor kan vi bruke
\begin{align}
\int_a^b \mathrm{d}x=F(b)-F(a)
\end{align}

Når vi ser på figuren nedenfor, kan vi beskrive arealet som en funksjon av hvor stort intervall vi beregner arealet. Intervallet kan vi bestemme med å endre på verdien til t Vi kan derfor si at integralet fra x=0 til t er avhengig av verdien til t. Arealet kan vi derfor skrive som en funksjon av t.

\begin{align}
A(t)
\end{align}


Når vi finner $A'(t)$ bruker vi definisjonen av den deriverte.

\begin{align}
A'(t)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{A(t+h)-A(t)}{h}
\end{align}

Ser vi nøye på figuren ser vi at differansen mellom de to arealene, arealet som går fra 0 til t og det som går fra 0 til t+h, er det $A(t+h)-A(t)$. Når funksjonen er stigende i intervallet har vi sammenhengen
\begin{align}
f(t)\cdot h < A(t+h)-A(t)

Del: