Integralregning

Introduksjon

Symboler vi bruker når vi integrerer er

\(\int\) – integral tegn, som kan ses på som et summeringstegn

\(dx\) – er en liten endring i verdien til x.

Når vi så skriver

\[\int f(x)\,\mathrm{d}x\]

betyr det at vi ønsker å summere alle de små endringene i x. Når vi lar endringen til x gå mot null, summerer vi sammen alle verdiene til f(x) for disse x-verdiene. Vi får da summen til alle de små rektanglene som dannes mellom x-aksen og funksjonen. Derfor kan vi se på integralregning som areal mellom en graf og x-aksen.

I figuren under endrer endrer bredden på rektanglene seg. Vi ser at når endringen i x blir svært liten går arealet av alle rektanglene mot aralet under grafen. Vi summerer altså alle rektanglene, hvor grunnlinjen skal være så liten som mulig.

areal

Regler

Vi husker fra R1 og derivasjon at det er noen derivasjonsregler som er gode å kunne. For integrasjon gjelder samme type regler. Når vi skal integrere, gjør vi det motsatte av å derivere. Altså antiderivere.

\begin{align}
(x^n)’&=nx^{n-1} & \int x^n \mathrm{d}x&= \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\\
(ln x)’&=\frac{1}{x} & \int \frac{1}{x}\mathrm{d}x&= ln|x|+C\\
(\mathrm{e}^x)’&=\mathrm{e}^x&\int \mathrm{e}^x \mathrm{d}x&=\mathrm{e}^x+C\\
(\mathrm{e}^{nx})’&=n\mathrm{e}^{nx} & \int \mathrm{e}^{nx} \mathrm{d}x&=\frac{1}{n}\cdot \mathrm{e}^{nx}+C\\
(a^x)’&=a^x\cdot \mathrm{ln} a & \int a^x \mathrm{d}x&=\frac{1}{\mathrm{ln} a}\cdot a^x+C
\end{align}

Bestemt og ubestemt integral

Et ubestemt integral et er integral over et ubestemt område. Foreksempel kan vi integrere funksjonen

\begin{align}
f(x)&=x^2\\
&\int f(x) \mathrm{d}x=\int x^2 \mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^3+C
\end{align}

Vi kan ikke vite hva konstantleddet til funksjonen er når vi antideriverer, eller integrerer. Derfor legger vi til $C$ for å vise at det er et konstantledd som er ukjent.

Når vi utfører en bestemt integrasjon, tar vi integralet over et bestemt område.

\begin{align}
f(x)&=x^2\\
&\int_a^b f(x) \mathrm{d}x=\int_a^b x^2 \mathrm{d}x=\left[\frac{1}{2}x^3\right]_a^b=(\frac{1}{2}b^3)-(\frac{1}{2}b^3)
\end{align}

og vi kan regne ut integralet til en verdi.

Areal og integral

Når vi skal integrere er det forskjell på om vi blir spurt om å finne integralet eller arealet.

  1. Når vi finner integralet tar vi ikke hensyn til om deler av funksjonen er over eller under x-aksen
  2. Når vi finner arealet må vi dele opp integralet i de delene som ligger over og de delene som ligger under x-aksen

Se eksempel 1 hvor vi finner arealet

 Areal mellom funksjon og aksene

  1. For å skille mellom areal over x-aksen og under x-aksen må vi finne alle nullpunkt i integreringsintervallet.
  2. Vi integrerer for alle intervallene og summerer arealet.

integral

Her har vi funksjonen $f(x)=e^{-0.2x}sin(2x)$ Vi ønsker å finne arealet avgrenset av x-aksen og intervallet $x\in [0,2\pi]$. Da må vi først finne alle nullpunktene $x={0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi}$ Deretter må vi beregne integralene

\begin{align}
A=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x) \mathrm{d}x-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}f(x) \mathrm{d}x+\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}f(x) \mathrm{d}x-\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}f(x) \mathrm{d}x
\end{align}

Areal mellom funksjoner

Når vi har to funksjoner og ønsker å finne arealet som er avgrenset av de to funksjonene, trenger vi skjæringspunktene til de to funksjonene. Disse finner vi ved å løse likningen

\begin{align}
f(x)=g(x)
\end{align}

Når vi har skjæringspunktene tregner vi å finne den funksjonene som har størst verdi i intervallet. Den kaller vi her for $f(x)$, mens den som har lavest verdi i intervallet kaller vi for $g(x)$.

Da kan vi skrive

\begin{align}\int_a^b f(x)-g(x) \mathrm{d}x
\end{align}

Volum av dreielegmer

 Teori

Her ser vi spesielt på integrasjon av dreielegemer. Dette er legemer vi kan se for oss kan bli laget i en dreiebenk. Snitt flaten er alltid en sirkel.

Om vi ser for oss et legeme som har en langsgående profil som funksjonen

\begin{align}
f(x)=\sqrt{x}
\end{align}

integralvolum0
Dersom vi gjør dette om til et dreiemoment, bruker vi verdien av f(x) som lengden på radiusen av den sirkelen som danner et tverrsnitt.

integralvolum1

Her er to tverrsnitt flater plassert tett inntil hverandre. Vi kan sammenligne dette med integrasjon, hvor avstanden mellom disse tverrsnitt flatene lages så liten at de nesten berører hverandre. Da er volumet summen av alle flatene.

integralvolum2
Summen av alle flatene vil tilsvare integralet dersom avtanden mellom flatene går mot null.

Areal av en flate regnes ut ved
\begin{align}
A=\pi r^2
\end{align}

Da r er verdien av f(x) får vi

\begin{align}
A=\pi \left( f(x) \right)^2
\end{align}

Volumet får vi ved å ta integralet

\begin{align}
\int{\pi \left( f(x) \right)^2} \mathrm{d}x
\end{align}

Bruk appleten under til å betrakte flatene. Her er funksjonen
\begin{align}
f(x)=\sqrt{x}
\end{align}

Når vi skal finne omdreiningsvolumet, bruker vi overflaten av en sirkel, og at integralet er summen av alle overflartene. Da får vi
\begin{align}
V=\int \pi \left( \sqrt{x} \right)^2= \left[ \pi \cdot \frac{1}{2}x^2 \right]
\end{align}

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.5 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Del: