Eksempler

Eksempel 1

Gitt funksjonen \(f(x)=x²+x-2\). Finn arealet mellom x aksen og grafen for \(x\in[-2,1]\).

Vi skal alstå løse integralet av \(f(x)\) fra \(-2\) til \(1\).

\begin{align}
\int_{-2}^{1}x^2+x-3 \mathrm{d}x
\end{align}

Vi sjekker at hele området enten ligger over eller under x-aksen.

\begin{align}
x^2+x-2=0 \Rightarrow x_1=-2 \wedge x_2=1
\end{align}

Vi antideriverer og finner løsningen

\begin{align}
\int_{-2}^{1}x^2+x-3 \mathrm{d}x&=\left[\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x\right]_{-2}^{1}\\
&=\left(\frac{1}{3}\cdot 1^3+\frac{1}{2}\cdot 1^2-2\cdot 1\right)-\left(\frac{1}{3}(-2)^3+\frac{1}{2}(-2)^2-2\cdot (-2)\right)\\
&=\left(-\frac{7}{6}\right)-\left(\frac{10}{3}\right)\\
&=-\frac{9}{2}
\end{align}

Vi har funnet at arealet er \(-\frac{9}{2}\). Dette forteller oss at arealet ligger under x-aksen. Svaret er derfor \(A=\frac{9}{2}\).

Del: